謝宗翰的隨筆 | 可愛寵物網
2016年6月15日—謝宗翰的隨筆.Ifyoucan'tsolveaproblem,thenthereisan ...
令 $X$ 為具有任意分佈 $f_X$ 的隨機變數 且我們將其支撐集 (support set) 記作 $cal X$,考慮參數 $K in [0,1]$ 與 函數 $g(X,K)$ 為對參數 $K$ 遞增函數 with probability one,我們想問當我們對該函數取期望值時,是否 $ E[g(X,K)] $是否仍為對 $K$ 遞增? 答案為肯定的,我們將其記錄如下 令 $X$ 為具有任意分佈 $f_X$ 且 其支撐集為 $cal X$ 隨機變數,考慮參數 $K in [0,1]$ ===================== Theorem: 函數 $g(X,K)$ 為對參數 $K$ 遞增 with probability one,則 $ E[g(X,K)] $ 仍為對 $K$ 遞增 ===================== Proof: 令 $K_1,K_2 in [0,1]$ 且 $K_1 geq K_2$,我們要證明 [ E[g(X,K_1)] geq E[g(X,K_2)] ]現在觀察 [left{ egin{gathered} E[g(X,{K_1})] = int_{cal X} g (x,{K_1}){f_X}(x)dx; hfill \ E[g(X,{K_2})] = int_{cal X} g (x,{K_2}){f_X}(x)dx hfill \ end{gathered} ight.]由於 $g(X,K)$ 為對參數 $K$ 遞增函數 with probability one,故可知對任意實現 $X=x$, $g(x,K_1) geq g(x, K_2)$,又因為 分佈函數 $f_X$ 的非負性質,不難得知 [ int_{cal X} g(x, K_1)f_X(x)dx geq int_{cal X} g(x, K_2)f_X(x)dx ]亦即 [ E[g(X,K_1)] geq E[g(X,K_2...
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